В комплексном линейном пространстве любой оператор имеет по крайней мере один собственный вектор. 33.Размерности циклических прямых слагаемых.
(– показатель нильпотентности, – кратность
Линейный оператор А является самосопряженным тогда и только тогда, когда Ae – эрмитова матрица. 5)
Линейный Оператор
Матрица тождественного преобразования (в любом базисе) единичная n-го порядка, ядро преобразования , образ преобразования , дефект , ранг . Обозначим — нулевое преобразование n-мерного пространства , которое ставит в соответствие любому вектору нулевой элемент пространства . Это преобразование не является инъективным, сюръективным, биективным, обратимым. Матрица нулевого преобразования (в любом базисе) нулевая, ядро преобразования , образ преобразования , дефект , ранг . Линейным преобразованием (линейным оператором) линейного пространства называется линейное отображение пространства в себя. Рассмотрим несколько примеров линейных операторов.
Заметим, , а координаты вектора в базисе равны (0,…,zero,1,0,…,0), где 1 стоит на i -ом месте. Таким образом, матрица линейного оператора в этих базисах имеет диагональный вид, причем по диагонали расположены 1 и zero. Количество 1 равно рангу оператора. Отсюда вытекает следствие согласно которому определитель матрицы оператора явл-ся инвариантным, т.е.
В некотором смысле такие отображения являются и наиболее простыми, так как они естественным образом связаны со структурой линей-ного пространства. Для всякой квадратичной формы в унитарном
. Вид матрицы нипотентного преобразования
и записываем матрицу оператора . 1)
Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. 4) Собственные векторы нормального оператора А,
Обратная Матрица
минимальной (min) степени, аннулирующий матрицу A0. Степень матрицы А определяется обычным образом ;
– новый базис, – матрица перехода от (e) к . Представление
в жордановом базисе. Любой циклический базис состоит из собственного вектора и присоединенных к нему векторов
Кривые Второго Порядка — I
Вид матрицы нильпотентного преобразования в жордановом базисе. Циклическое подпространство Z инвариантно относительно нильпотентного
Подставляя в первое равенство связи координат векторов в разных базисах получаем или, учитывая обратимость матрицы . Сравнивая последнее равенство с , убеждаемся в справедливости https://deveducation.com/ (9.4). Найти условия диагонализуемости матрицы оператора $ \mathcal A $ над полем вещественных чисел. В столбцах матр. В-в жорданова базиса. Рассмотрим
- квадратичной формы к каноническому
- пространстве является полуторалинейная
- – произвольная квадратная матрица
- из теоремы 1 наз-ся интерполяционным
- 2)
Ядро является подпространством W (докажите) и его размерность называют дефектом и обозначают . Пусть линейное пространство разлагается в прямую сумму подпространств дефект оператора . Это преобразование линейное, инъективное, сюръективное, биективное, обратимое. Ядро преобразования , образ преобразования , дефект , ранг . Как
Собственное Число И Собственный Вектор
верхний угол матрицы) . 9.Нормальный вид квадратичной формы.
Инвариантное Подпространство
, где – ортонормированная сист.
Плоскость В Пространстве
совпадают на спектре матр. Если пространство R двумя способами
4) Жорданов базис получается при объединении жордановых базисов корневых подпространств. 32.Разложение корневого подпространства в сумму циклических подпространств.
Leave a Reply